1-	Chercher en mathématiques
2-	Différents niveaux de résolution
3-	Démarche
4-	Typologie
5-	L’erreur : une étape de l’apprentissage
6-	Méthodologie pour établir une programmation

CHERCHER EN MATHEMATIQUES

-	Essayer, gérer des essais successifs, les organiser

-	Conjecturer, faire des hypothèses

-	Tester une hypothèse

-	Déduire, valider

-	Formuler une solution

-	Argumenter à propos de la validité d'une solution

Engager une démarche de "chercheur"
	
	Interroger la situation

	Etre original, oser

	Etre autonome et capable de travailler en commun

	Echanger, débattre

Différents niveaux de résolution

Résolution pratique 
                                                
Résolution par le
Dessin
							Procédures 
							Personnelles
Résolution par le
Calcul
(procédés non 
standard)

Résolution 					Procédures
Mathématique					Expertes
(procédés standards)

Mise en œuvre d'une démarche

-	Phase d'explicitation de la tâche (sans rien dévoiler de la démarche)

-	Phase de recherche (l'enseignant n'intervient pas sur les solutions) :
                                        temps individuel
                                        recherche en groupes
                                        production d'un écrit (affiches …)

-	Phase de débat (l'enseignant anime les échanges entre les élèves et note les procédures, les arguments acceptables au tableau) :
présentation des solutions et stratégies de résolution pour        chaque groupe
                                        questionnement, argumentation

-	Phase de synthèse (l'enseignant aide à l'organisation des éléments de synthèse, à la mise en évidence d'une procédure experte, à la mise en forme de la trace écrite) :
                                        bilan des méthodes, des arguments …
                                        points sur les erreurs et leur analyse …

-	Phases de reprises (intégrant une différenciation éventuelle) :
                                        problème identique / d'application
                                        problème de réinvestissement … 

Typologie

TYPE	
FONCTION	
QUAND ?

Problème de recherche

	

Apprendre à chercher
Objectif méthodologique	

Lorsque les connaissances
nécessaires sont en place	

Situation - problème
d'apprentissage

	

Construction d'une
connaissance nouvelle (ou
d'un nouvel aspect d'une
connaissance déjà abordée)

	

Pour un premier travail sur une connaissance nouvelle	

Problème d'application	

Entraînement à la maîtrise du sens d'une connaissance nouvelle (contexte proche de
la situation d'apprentissage)

	

Après une phase de 
construction d'une nouvelle 
connaissance	

Problème de réinvestissement
                 …
Vers les problèmes complexes	

Utilisation d'une 
connaissance dans un contexte différent de celui où elle a été abordée

	

Pour enrichir le sens d'une 
connaissance (champ 
d'utilisation)
Pour l'utiliser conjointement à d'autres connaissances

L’erreur : une étape de l’apprentissage

Les didacticiens de mathématiques se sont intéressés à la classification des erreurs.
Une erreur étant repérée, il s'agit alors de faire des hypothèses sur son origine, sur ce qui a conduit l'élève à produire cette erreur-là.
On peut proposer la typologie suivante :

Famille d'erreurs
(classe - catégories)
	
Causes possibles d'erreurs	

Erreurs liées à la notion
(se situent du côté de l'objet d'apprentissage)	
-	connaissance insuffisante du contenu
-	techniques mal acquises
-	connaissances erronées ou limitées (renvoie
      aux conceptions)

Erreurs liées au mauvais traitement des données
(se situent du côté du sujet)
-	opérations mentales
-	erreurs de calculs
-	stratégies détournées ou mal adaptées

-	mauvaises mémorisation (renvoie à l'idée
      de surcharge cognitive)
-     manque d'automatismes	

Erreurs liées au comportement (se situent du
côté du sujet)
-      lenteur	

-	anxiété face à un problème
-	temps mal géré
(renvoie à la question du rapport au savoir ou à la
discipline, et renvoie aux représentations de l'élève en tant que mathématicien)

Erreurs liées à la compréhension de la tâche 
(du côté du contexte)
-	situation mal comprise
-	l'élève répond à une autre chose qu'à la question. Il donne réponse en fonction de ce qu'il croit que le professeur attend de lui.

-	mauvaise interprétation de l'énoncé 
-	mauvaise représentation de la situation
(renvoie à la dimension sociale de la situation)
-	contrat didactique et pédagogique	

Méthodologie 

1 - Lister et organiser les compétences.
Les compétences, issues des documents du ministère de l'Education nationale, sont listées puis regroupées par thèmes et hiérarchisées.
2 - Analyser les niveaux et besoins des élèves.
L'analyse effectuée par l'équipe d'enseignants s'appuie particulièrement sur les      résultats obtenus par les élèves à l'évaluation ministérielle CE2, mais aussi sur des résultats obtenus aux différentes évaluations que les enseignants ont menés dans leurs propres classes.
3 - Proposer une programmation intercycles.

VERS UNE PROGRAMMATION INTERCYCLES DE RESOLUTION DE PROBLEMES

Compétences	1	2	3	
Stratégies et démarches de 
résolution de problèmes	Mettre en œuvre des stratégies de tâtonnement pour trouver des solutions aux problèmes posés	
***			
	Analyser des problèmes de recherche simples		
***		
	Elaborer une démarche originale dans un problème de recherche		
**	
***	
Les données dans la résolution de problèmes	Choisir les données nécessaires à leur résolution 	
**	
***	
+	
	Reconnaître, trier, organiser et traiter les données utiles à la résolution d'un problème	
*	
**	
***	
Réinvestir des connaissances dans la résolution de problèmes	Mobiliser les connaissances déjà acquises	
**	
***	
+	
Résultats et solutions de résolution de problèmes	Exposer clairement les résultats	
	
***	
+	
	Formuler et communiquer la démarche et ses résultats	
*	
**	
***	
	Argumenter à propos de la validité d'une solution	
*	
**	
***	
Proposer une situation problème	Elaborer un questionnement à partir d'un ensemble de données		
*	
***	

*     Possible                                Lorsque certains enfants sont manifestement prêts
**    Souhaitable                           à entreprendre les activités du cycle suivant.	
***  Indispensable                       Compétences à acquérir au cours de chaque cycle    	
+    A prolonger                           Lorsque les lacunes sont limitées et ne doivent pas constituer un obstacle 
                                                     insurmontable au passage dans le cycle suivant.	

										R. SAUVAGET IEN